[2016년 덕이고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=x^2 -x+1]에 대하여 [eqn: x]가 [eqn: 1]에서 [eqn: 3]까지 변할 때 평균변화율은? [4.0점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=cases{{x^2 -3x+a}overx-2 &(x!=2) # ````````````````````b&(x=2)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은? [4.1점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

양수 [eqn: a]와 실수 [eqn: b]에 대하여 [eqn: lim_n->inf left(root{an^2 +6n} -bn right) = 1over3]일 때,
[eqn: a+b]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: 12]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 156]	⑤ [eqn: 240]

첫째항이 [eqn: 0.5], 제[eqn: 5]항이 [eqn: 0.0008]이고 각 항이 모두 양수인 등비수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: 11over18]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 25over36]

④ [eqn: 7over9]	⑤ [eqn: 15over18]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim_x->inf f(x)over{x^3 -3x^2 +3x-1} =1], [eqn: lim_x->2 f(x)over{(x-2)^2 }=3]을 만족할 때, [eqn: f(3)]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^inf left(na_n -{3n^2 +2n+1}overn-4 right)]이 수렴할 때,
[eqn: lim_n->inf (3a_n )^2]의 값은? [4.3점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 144]

수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^2 -left(n+1over2 right)x +a_n]은 [eqn: x]축과 만나고 [eqn: y=x^2 - n over 2 x+a_n]은 [eqn: x]축과 만나지 않는다. [eqn: lim_n->inf 4a_n overn^2]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over5]	③ [eqn: 3over20]

④ [eqn: 1over10]	⑤ [eqn: 1over20]

함수 [eqn: f(x)=x^3 +x-9]와 그 역함수의 그래프가 만나는 점이 [eqn: (a,```b)]일 때 [eqn: a]값이 속하는 구간은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4.4점]

④

① [eqn: (-1,```0)]	② [eqn: (0,```1)]	③ [eqn: (1,```2)]

④ [eqn: (2,```3)]	⑤ [eqn: (3,```4)]

수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n =5]이고, [eqn: sum _n=1 ^inf na_n =25]일 때,
[eqn: sum_n=1 ^inf n(a_n +a_n+1 )]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: 25]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 45]

곡선 [eqn: y=x^2]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동한 곡선이 직선 [eqn: y= 1overn x]와 만나는 점을 각각 [eqn: {RMA}_n], [eqn: {RMB}_n]이라 하고, [eqn: {RMA}_n]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha_n], [eqn: {RMB}_n]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: beta_n]이라 하자. [eqn: lim_n->inf |alpha_n -beta_n |]의 값은? [4.5점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 점 [eqn: {rmA}(1,```0)]와 직선 [eqn: y=ax]에 접하고 반지름의 길이가 [eqn: f(a)]인 원 [eqn: C]에 대하여 [eqn: lim_a->0+ a overf(a)]의 값은? [4.5점]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

수열 [eqn: LEFT { {2+r ^{n}} over {1+r ^{2n}} RIGHT }]의 수렴, 발산에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

④

ㄱ. [eqn: |r|>1]일 때, 수열 [eqn: LEFT { {2+r ^{n}} over {1+r ^{2n}}right}]은 [eqn: 1]에 수렴한다.

ㄴ. [eqn: r=1]일 때, 수열 [eqn: LEFT { {2+r ^{n}} over {1+r ^{2n}} Right}]은 [eqn: 3over2]에 수렴한다.

ㄷ. [eqn: |r|<1]일 때, 수열 [eqn: LEFT { {2+r ^{n}} over {1+r ^{2n}} RIGHT]은 [eqn: 2]에 수렴한다.

ㄹ. [eqn: r=-1]일 때, 수열 [eqn: LEFT { {2+r ^{n}} over {1+r ^{2n}} RIGHT]은 [eqn: 1over2]에 수렴한다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄱ, ㄹ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄹ

그림은 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 나타낸 것이다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.6점]

④

ㄱ. [eqn: {f(a)} over {a} > {f(b)} over {b}]
ㄴ. [eqn: f(b)-f(a) > b-a]
ㄷ. [eqn: f'(a)>f'(b)]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

그림은 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.6점]

⑤

ㄱ. [eqn: lim_x->1 left{f(x)+f(-x) right]가 존재한다.

ㄴ. [eqn: lim_x->1 f(x)f(-x)]가 존재한다.

ㄷ. 함수 [eqn: y=f(x)f(-x)]는 열린구간 [eqn: (-2,```2)]에서

연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=cases{[x]^2overx&(x!=0)#``````{0}&(x=0)]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대 정수이다.) [4.6점]

②

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

ㄴ. [eqn: lim_x->2+ f(x) =2]

ㄷ. [eqn: lim_x->2 {f(x)-f(2)}overx-2 =-1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정육각형 [eqn: rmH_1]이 있다. 정육각형 [eqn: rmH_1]의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, [eqn: 6]개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: A_1]이라 하자. 그림 [eqn: A_1]에 정육각형 [eqn: rmH_1]의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 [eqn: rmH _{2}]라 하자. 정육각형 [eqn: rmH_2]의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고 새로 그려진 [eqn: 6]개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: A_2]이라 하자. 그림 [eqn: A_2]에 정육각형 [eqn: rmH_2]의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 [eqn: rmH_3]라 하자. 정육각형 [eqn: rmH_2]의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고 새로 그려진 [eqn: 6]개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: A_3]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번 째 얻은 그림의 [eqn: A_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n = 108overa (b root3 -4)pi]이다. [eqn: a+3b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 정수이다.) [4.6점]

②

① [eqn: 9]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 53]

서술형

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x>0]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)=lim_n->inf{2x^n+2 +ax^2 +bx}over{x^n +1}]가 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오. [8.0점]

[eqn: a=2`], [eqn: b=0]

아래 그림은 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다. 합성함수
[eqn: y=(f circ f)(x)]
의 [eqn: x=0]과 [eqn: x=1]에서의 연속성을 조사하시오. [7.0점]

[eqn: x=0]에서 연속, [eqn: x=1]에서 불연속

[eqn: n]은 짝수이고 [eqn: x], [eqn: y]는 음이 아닌 정수이며,
[eqn: {rmmax}(x,```y)=cases{x&{(x ge y)}#y&(x<y)]
이다. 좌표평면에서 [eqn: 2x+y le n]을 만족하는 점 [eqn: (x,```y)]의 개수를 [eqn: a_n], [eqn: {RMmax}(x,```y) le n]을 만족하는 점 [eqn: (x,```y)]의 개수를 [eqn: b_n]이라 할 때, 물음에 답하시오. [총 8.0점]

(1) [eqn: a _{n} = LEFT ( {n} over {2} +1 RIGHT ) ^{2}]

(2) [eqn: b _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}]

(3) [eqn: 4]

(1) [eqn: a_n]을 구하시오. [4.0점]

(2) [eqn: b_n]을 구하시오. [2.0점]

(3)[eqn: lim_n->inf b_n overa_n]의 값을 구하시오. [2.0점]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y= 1overn x]와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, 물음에 답하시오. [총 7.0점]

(가) [eqn: f(x)=cases{-x^2 +1&(0 le x le1)#(x-1)^3&(1 le x <2)]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)]이다.

(1) [eqn: a _{n} =n]

(2) [eqn: {3} over {2}]

(1) [eqn: a_n]을 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: sum_n=1 ^inf 2over{a_n times a_n+2]의 값을 구하시오. [5.0점]

[2016년 덕이고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com